El triángulo de la doble bestia

Es curiosa la propiedad que nos advierte Cliff Pickover en su cuenta de twitter, solo hay un triángulo rectángulo pitagórico (con lados que son ternas pitagóricas) cuya área se expresa mediante dígitos repetidos. Y el área en cuestión me ha llamado la atención, 666666.

bestia

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Tres formas y pico de aproximar π

Los que sois asiduos a Ciencia en el XXI sabéis que soy un apasionado de Arquímedes y, en concreto, de sus aproximaciones al número π. La aproximación 3,14 que tanto se usa en Primaria se debe al sabio de Siracusa. Hace un par de años elaboré una propuesta didáctica llamada Tres formas y pico de encontrar π (incrustado abajo), hoy quiero compartir una aplicación dinámica hecha con Geogebra sobre una de estas formas de encontrar π. En otra ocasión conté cómo pesar el número π.

El método exhaustivo

Arquímedes pensó en que podría acorralar una circunferencia entre dos polígonos iguales con número creciente de lados. El área de la circunferencia estará entre el área del polígono interior y el área del polígono exterior. Tras ir subiendo el número de lados llegó a la siguiente conclusión (válida también para las áreas):

«La longitud del círculo es el triple del diámetro y lo excede en menos de 1/7 pero en más de 10/71». Sobre la medida del círculo, proposición 3.

Por ejemplo, si encerramos la circunferencia con hexágonos, tendremos lo siguiente:
pi hexágonos

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La tontería anual sobre la lotería

Poco que decir, solo que la probabilidad de que el gordo termine en un número concreto del 0 al 9 es del 10%, nos pongamos como nos pongamos. Sin embargo uno ve estas cosas que comparto abajo y siente vergüenza ajena de los medios de comunicación de este país. No hacen falta más explicaciones, solo recordar la ley de Laplace.

Lotería

Feliz día de aproximación a π

Hoy es 22 de julio, es decir, 22/7.

Se da la circunstancia de que 22/7 es una aproximación a π que se ha usado durante siglos y que hoy usamos muy a menudo sin pararnos a pensar en ella: 22/7≈3,14≈π. El número π es un número irracional, tiene infinitas cifras decimales, así que no es cierto que π sea 3,14. Sin embargo, 3,14 es un número que utilizamos de forma cotidiana, pues con dos decimales es suficiente. ¿Alguna vez te has parado a pensar a quién le tienes que dar las gracias?

¿A quién se debe esta aproximación? Pues parece que fue Arquímedes el primero en llegar a esta fracción, en su obra Sobre la medida del círculo. En este texto aparece más de una demostración, pero interesa una en la que encuentra que la razón del área de un círculo inscrito en un cuadrado (diámetro=lado) es aproximadamente igual a 11/14. Aunque puedes leerlo en Pesando el número π, no es difícil llegar a la conclusión de que al dividir las expresiones teóricas de las áreas obtendremos π/4. Igualando ambas cantidades (de forma aproximada) se obtiene el deseado π≈22/7. Por tanto, feliz día de aproximación a π.

 

Moviendo una cerilla la igualdad sigue siendo cierta. En realidad hay un fallo, donde dice "igual" debe decir "aproximadamente igual". Del libro «El omnipresente número π».

 

REFERENCIAS

«Arquímedes», FERNÁNDEZ, E. M., RBA (2012)

«El omnipresente número π», ZHÚKOV, A. V., URSS (2004)

Piedra, papel, tijeras y botella

El juego piedra-papel-tijeras puede parecer aburrido entre dos personas por el alto número de empates (1/3). Pero estos niños, sin duda, lo hacen más divertido:

Al introducir dos jugadores más, se enriquece considerablemente el número de configuraciones como resultado. Si juegan dos jugadores hay tres opciones: o gana uno, o gana el otro o empatan. Hagamos el cambio 1=papel, 2=piedra y 3= tijeras, así es fácil ver que 1 gana a 2, 2 gana a 3 y 3 gana a 1. De entrada sabemos que hay 81 posibles configuraciones (variaciones con repetición de 3 elementos tomados de 4 en 4, 4^3=81). Pero nos interesa discernir entre los siguientes casos:

  • Hay empate (E)
  • Un jugador gana al resto (G1)
  • Dos jugadores ganan y desempatan entre ellos, pues los otros dos se eliminan (G2)
  • Tres jugadores ganan y eliminan al cuarto (G3)
  • Hay bucle, es decir, se aniquilan mutuamente (B)

Para hacer el recuento de forma accesible a todos los lectores, supongamos que el primer jugador siempre saca un “1”. Los resultados que obtenemos los recogemos en la siguiente tabla para poder distinguir entre los casos que hemos mencionado. En la tabla se observan 27 posibilidades, es decir, la tercera parte  de las configuraciones totales. Bastará con multiplicar por 3 cada caso (E, G1, G2, G3 y B) para finalizar el recuento.

Al pie de la tabla se recogen unidos los empates (E) y las situaciones bucle (B), pues en ambos casos no gana nadie y hay que repetir la jugada. Dicho de otro modo, un bucle es como un empate. Sale un 48 % de probabilidad de empate, mayor que si juegan 2, que sería un 33,3 %. Aún así el juego es más divertido, si no, vuelve a ver el vídeo y fíjate en una cosa. Cuando el niño de las risas elimina a los otros tres: él saca papel y los otros piedra. La probabilidad de que eso ocurra es del 14,8 %. Eso es lo divertido para ellos, poder eliminar a todos de una vez. La siguiente gráfica de tarta simplemente visualiza los resultados obtenidos.

Esta semana (07/02/013) tuve la oportunidad de impartir una sesión en el Máster de Enseñanza Secundaria, para la asignatura Innovación Docente e Iniciación a la Investigación Educativa en Matemáticas. El título de la sesión es Probabilidad con una mano, básicamente hablé de la infinidad de aplicaciones docentes que tiene el juego piedra-papel-tijeras, si lo generalizamos a un juego similar con más opciones. Si llamamos a piedra-papel-tijeras RPS-3, podemos seguir con un RPS-5 (el mítico piedra-papel-tijera-lagarto-spok de Sheldon Cooper), ir aumentando, pasando por un RPS-25, llegando aun monumental RPS-101 y, por recurrencia, es fácil llegar a un RPS-m, es decir, un juego piedra-papel-tijeras con m elecciones. La condición: que m sea impar. En el curso pues, no ampliaba el número de jugadores, sino que ampliaba el número de opciones entre las que elegir: triángulo, pentágono o cualquier polígono regular de un número impar de lados. Abajo tienen los docentes la guía que llevé, en pdf, aunque hay que recordar que es eso, una guía, no es autoconsistente y puede tener carencias. De paso, dejo un enlace a una hoja de cálculo con un algoritmo que permite saber qué jugador gana con un RPS-m cualquiera con jugadas aleatorias, basta poner el número de opciones y la hoja devuelve los resultados. Recordad que hay que bajarse la hoja al ordenador y pulsar la tecla F9 para que se generen los números aleatorios.

Probabilidad con una mano de Eugenio Manuel Fernández

NOTA: los chicos de microsiervos han recogido anotaciones diversas sobre el asunto de piedra, papel y tijeras, son la fuente primaria de frikismo de todo bloguero que lleve en este mundillo más de 3-4 años.

Cómo salvar el mundo en 22 días

Entrada para participar en la Edición 2.1 del Carnaval de las Matemáticas. Quiero darle las gracias a Tito Eliatron Dixit por el esfuerzo realizado.

Eugene Simonet es un profesor de Estudios Sociales que plantea a unos alumnos de primaria un trabajo oritinal: Piensa una idea para cambiar el mundo y ponla en práctica. Uno de los alumnos, Trevor, desarrolla una idea interesante: ayudar a tres personas en algo que ellas no puedan hacer por sí mismas. Lo único que les pide a cambio es que, a su vez, estas personas ayuden a otras tres. Se trata de la cinta Cadena de favores, lo mejor es que vea
s la escena:

Estamos ante una progresión geométrica der razón 3. Se me ocurre una pregunta, ¿cuántos pasos habría que dar para llegar a la población mundial. Podemos redondear a 7000 millones de personas. Supongamos que cada día se da un paso, siendo el primer día el caso en el que el niño decide comenzar su experimento y aún no ha ayudado a nadie. Fíjate en el esqueme hecho a mano, para darle un aire más de aula:

La progresión es 1, 3, 9, 27, etc. A cada término se le suma el anterior para saber a qué número de personas se va llegando.

 

Ateniendo a la expresión de la suma de los n primeros términos de una progresión geométrica, poemos ver en qué momento se alcanza la población mundial. Se trata del día 22, hacia las 4 de la madrugada, suponiendo que la cadena de ayuda se repartiese de manera constante en el tiempo durante un día. En la gráfica de abajo se puede ver cómo se trata de una progresión exponencial, como se explica en el vídeo.

La línea roja indica la situacion aproximada de la población mundial.

 

Contando vacas: las principales teorías económicas explicadas con vacas

No soy amigo de hacerle caso a los correos en serie ni a las chorraditas que van rebotando por foros y redes sociales. Pero esto tiene su gracia, y su transfondo. La política hace del «contar» un arte. No consigo encontrar la fuente original, lo veo por ejemplo en elmanifiesto.com.

Las principales Teorías Económicas explicadas con vacas

Socialismo: Tú tienes 2 vacas. El estado te obliga a darle 1 a tu vecino.

Comunismo: Tú tienes 2 vacas. El estado te las quita y te DA algo de leche.

Fascismo: Tú tienes 2 vacas. El estado te las quita y te VENDE algo de leche.

Nazismo: Tú tienes 2 vacas. El estado te las quita y te dispara en la cabeza.

Burocratismo: Tú tienes 2 vacas. El estado te pierde una, ordeña la otra y luego tira la leche al suelo.

Capitalismo tradicional: Tú tienes 2 vacas. Vendes una y te compras un toro. Haces más vacas. Vendes las vacas y ganas dinero. Luego te jubilas rico.

Capitalismo moderno: Tú tienes 2 vacas. Vendes 3 de tus vacas a tu empresa que cotiza en bolsa mediante letras de crédito abiertas por tu cuñado en el banco. Luego ejecutas un intercambio de participación de deuda con una oferta general asociada con lo que ya tienes las 4 vacas de vuelta, con exención de impuestos por 5 vacas. La leche que hacen tus 6 vacas es transferida mediante intermediario a una empresa con sede en las Islas Cayman que vuelve a vender los derechos de las 7 vacas a tu compañía. El informe anual afirma que tu tienes 8 vacas con opción a una más. Coges tus 9 vacas y las cortas en trocitos. Luego vendes a la gente tus 10 vacas troceadas. Curiosamente durante todo el proceso nadie parece darse cuenta que, en realidad, tú sólo tienes 2 vacas.

Economía japonesa: Tú tienes 2 vacas. Las rediseñas a escala 1:10 y que te produzcan el doble de leche. Pero no te haces rico. Luego ruedas todo el proceso en dibujos animados. Los llamas ‘Vakimon’ e incomprensiblemente, te haces millonario.

Economía alemana: Tú tienes 2 vacas. Mediante un proceso de reingeniería consigues que vivan 100 años, coman una vez al mes y se ordeñen solas. Nadie cree que tenga ningún mérito.

Economía rusa: Tú tienes 2 vacas. Cuentas y tienes 5 vacas. Vuelves a contar y te salen 257 vacas Vuelves a contar y te salen 3 vacas. Dejas de contar vacas y abres otra botella de vodka.

Economía china: Tú tienes 2 vacas. Tienes a 300 tíos ordeñándolas. Explicas al mundo tu increíble ratio de productividad lechera. Disparas a un periodista que se dispone a contar la verdad.

Capitalismo americano: Tienes dos vacas. Vendes una y fuerzas a la otra a producir la leche de cuatro vacas. Te quedas sorprendido cuando ella muere.

Economía india: Tú tienes 2 vacas. Las pones en un altar para adorarlas. Después sigues comiendo arroz al curry.

Economía suiza: Hay 5000000000 vacas Es obvio que tienen dueño pero nadie parece saber quién es.

Economía francesa: Tú tienes 2 vacas. Entonces te declaras en huelga, organizas una revuelta violenta y cortas todas las carreteras del país, porque tú lo que quieres son 3 vacas.

Economía neozelandesa: Tú tienes 2 vacas. La de la izquierda te parece cada día más atractiva

Capitalismo italiano: Tienes dos vacas. Una de ellas es tu madre, la otra tu suegra, ¡¡maledetto!!!

Capitalismo británico: Tienes dos vacas. Las dos están locas.

Economía española: Tú tienes 2 vacas, pero no tienes ni idea de donde están. Pero como ya es viernes, te bajas a desayunar al bar que tienen el Marca. Si acaso, ya te pondrás a buscarlas el miércoles después del puente de San Aniceto.