0,9 periódico es 1

Aún conservo una anecdota de un profesor de mi instituto que me suspendió porque decía que no estudié (qué razón que tenía el pobre). Él decía que yo era un estudiante de 10, que no podía hacer un examen tan mediocre, así que me bajó nota por doquier. Me puso un un 4,9 y, para hacerse el gracioso, le puso un gorrito al nueve. Pero ahí estaba Eugenio para dar por saco, y me acerqué, examen en mano, para decirle que 4,9999…….. es igual a un 5. Tras pensarlo un par de segundos, y con cara malhumorada, tachó el gorrito y me dijo «ea, ya tienes tu 4,9». Hoy miro atrás y me doy cuenta lo repelente que debí que ser en ese momento.
Cada vez que digo en clase que el número 0,9999… es la unidad, el asombro corre por el aula. Y entenderlo es de lo más fácil. Basta con dividir la unidad en tres partes, ¿cuánto mide cada parte? La respuesta es que 1/3 y, si divides, esto es igual a 0,333… Mira la siguiente secuencia, en la que se suma por ambas partes de la igualdad, verás que sencillo.

1/3=0,333…

1=3*1/3=0,333…*3=0,999…

Por tanto:

q.e.d.

Más información en wikipedia.

21 pensamientos en “0,9 periódico es 1

  1. Pues sí, pero no, Eugenio. Coincidirás conmigo que 1/3 no es 0,333 ó 0,3 período. Es la mejor aproximación que podemos ofrecer (aunque la mejor es «1/3» simplemente, no?). Por la misma razón 3*0,333 período no es 1, sino 0,9 período. Los números son mi profesión, y desde pequeño me impusieron esta regla: «Lo bueno es enemigo de lo mejor». O sea, si el resultado no es correcto (no es perfecto), es incorrecto (aunque sea por poco…)No te digo nada que tú no sepas, granuja

  2. Suso:1/3 es exactamente 0,333… periódico. Son dos maneras de escribir el mismo número y no hay ningún error u aproximación en una u otra. Por lo mismo 1, 0,999… periódico, 3-2, 10^0, 7/7, 0!, … son todas maneras de expresar el mismo número, al que llamamos 1, todas ellas exactas, aunque algunas más elegantes y concisas.

  3. Hola José Luis.Chico, no puedo coincidir contigo. Al menos en todo. Desde luego llevas razón diciendo que 3-2, 10^0, 7/7, 0!, … son todas maneras de expresar el mismo número, al que llamamos 1Pero 0,999 periódico y 1 no son lo mismo. Es una muy buena aproximación, pero no son lo mismo. He echado un vistazo a la wikipedia, y esta frase creo que clarifica bastante: El número decimal infinito periódico 0,333… es la representación decimal del número racional 1/3).La palabra clave es representación, que no quiere decir «identidad», ni ha empleado «solución» o «resultado» para ligar ambas expresiones… El debate enriquece. Un saludo.

  4. Hola,Obviamente, Suso, estás en un error.Hay varias demostraciones. Usando fórmulas, a mi me gusta más la del 9 que la del 3, que juega con la posición del punto decimal para deshacerse del periodo.x = 0.9 periódico.multiplicando por 1010 x = 9.9 periódico = 9 + 0.9 periódicosustituyendo la primera en la segunda:10 x = 9 + xY despejando llegamos a que x vale 1 (habíamos partido de x = 0.9 peródico).También hay alguna que no precisa de fórmulas:Puesto que el conjunto de los reales es denso, siempre debe hacer un número entre otros dos cualesquiera. Como no hay ningún número entre 0.9 periódico y 1, siendo ambos números reales, ambos deben ser iguales.

  5. Obviamente, Ford Prefect, me tengo que quitar el sombrero. Reconozco que estaba equivocado, por dos veces, pero ha merecido la pena insistir, así he podido disfrutar de tu demostración.¿Ves como el debate enriquece?Un saludo

  6. Coincido con el comentarista Anónimo en lo de la errata.Por otra parte, cuando yo estudiaba en el colegio, recuerdo que la demostración de que 0,9 período era igual a 1, la hacíamos después de haber estudiado las series infinitas y las progresiones aritméticas y geométricas. El número 0,9 periodo sale de la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica que es: 0,9; 0,09; 0,009; 0,0009; … La razón de esta progresión es 0,1 y como la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica de razón «r» es el cociente entre el primer término de la serie y «1-r», entonces en este caso ese cociente vale 0,9/(1-0,1) = 0,9/0,9 = 1¡¡¡ Buf, qué a gusto me he quedao !!!

  7. SUSO:Primero decirte que todavía estoy llorando de la risa por lo de granuja, no sé por qué pero me ha hecho mucha gracia. Gracias por darme un ratito de aliento tras este día duro.En segundo lugar, decirte que no es que YO disienta de tu planteamiento, es que las matemáticas son las que son. 1/3 sí que es 0,3 periódico. Divide 1 entre 3 y te saldrá un 3 detrás de otro sin parar. Aquí se ve el concepto de infinito de primera mano. Es decir, es absolutamente erróneo decir que son aproximaciones. Una aproximación de 1/3 es 0,3, pero 1/3 es EXACTAMENTE 0,3 periódico, no porque yo lo diga, es por definición de número periódico.En todo caso, me alegra que Ford terminara la polémica. Bueno, no me alegra del todo, porque entonces no hay discusión ;)Sergio, Jose Luis y Ford: Para quitarse el sombrero.

  8. Vaya, he llegado tarde, me hubiera gustado meterme antes en demostraciones… pero también es verdad que no lo habría conseguido tan elegantemente como han hecho otros.Da gusto leer comentarios así.Saludos.

  9. Esa demostracion fue la primera que me hicieron en la universidad, y me sorprendio en el momento, aunque es algo bastante logico.Hace cosa de dos semanas, charlando con un amigo (que hace varios años que cursa) salio en la discusion, y me sorprendio que no se lo hayan dicho. Es una curiosidad no muy generalizada…

  10. Suso:Es poco corriente ver cómo alguien se deja convencer con argumentos. Me descubro ante ti. Y de mayor quiero ser como Ford Prefect, que tiene el don de convencer.

  11. Hola a todos. Jose Luis, gracia a ti por observarlo y aplaudirlo. Estoy de acuerdo en que cuesta mucho que alguien pronuncie la frase «tienes razón». En realidad yo, y tú, y Ford, la pronunciamos sólo cuando creemos (mejor, cuando sabemos) que el otro tiene la razón. Lo terrible es ver a gente enrocarse y seguir lanzando embites rabiosos después de verse desposeído de ella. Supongo que es por infantilismo, por creer que van a ser menos respetados por reconocer que el contrario está en lo cierto y ellos se equivocaban. Para mí es más adulto reconocer un error y felicitar a quien lo merece, en este caso Ford por lo certero de su demostración (inapelable, eh?).De todas formas insisto, estos debates enriquecen las entradas aportando matices que al autor (no es este el caso, Eugenio) se le pueden haber pasado…Yo también me quito el sombrero con esta serie de comentarios y sus autores: ha resultado muy, muy entretenida y edificante.Un saludo

  12. Hola,Bueno, bueno, que me voy a poner colorao…Muchas gracias, me alegro de que os haya gustado; pero aquí el mérito es de Eugenio Manuel, que es el que se lo curra día a día. A mi me resultaría imposible encontrar 5 ó 6 temas de los que hablar cada semana sin que la gente se muera de aburriento.

  13. Eugenio Manuel:Si no se pone muy colorao…Todos:Me apunto al elogio de Suso y de Ford Prefect de nuestro anfitrión.

  14. aunque eh llegado un poco tarde me gustaría decir que no están en lo correcto, eso es parte de la idea fundamental de calculo, 0.9 periódico es eso eso 0.9 periódico no 1, los invito a que dividan 1 entre 0.001 luego 1 entre 0.0000000001 ó con cuantos ceros gusten después del punto(casi cero)y luego a que dividan entre 0(cero) y obtendrán a lo que me refiero

  15. J. Salvador:No entiendo la relación de los cálculos que indicas con el tema tratado. ¿Puedes explicarlo mejor?

  16. J. Salvador, suscribo la petición de Eugenio. Aclara si puedes un poco más la demostración porque yo tampoco la encuentro la relación…La has planteado un poco en plan «jeroglífico» (te ha faltado decir aquello de y hasta aquí puedo leer…)Un saludo

  17. "Entre dos números diferentes reales siempre hay al menos otro”Y entre 0,9^ y 1 no hay ningún número… por lo que necesariamente han de ser el mismo número.

Deja una respuesta

Tu dirección de correo electrónico no será publicada. Los campos obligatorios están marcados con *

*