Cosas de alumnos VII: Los números normales

Pregunta de examen: Cuenta lo que sepas de los número naturales.

Respuesta: Los números naturales son los números normales.

Toma ya. Normal, lo que se dice normal, son los irracionales, si nos referimos a la abundancia. Otra cosa es normal en el uso cotidiano del ser humano. Si cogemos un alfiler y pinchamos en la recta real, lo más probable es dar con un irracional.

14 pensamientos en “Cosas de alumnos VII: Los números normales

  1. Jamás daría por buena la pregunta en un examen pero porque el alumno demuestra que es un descuidado, pero no creas que hay mejor manera de caracterizar los números naturales, no digo ya de definir. Yo les digo que son los números que sirven para contar (y que, por tanto, el cero no entra dentro del conjunto porque nos encontraríamos que “nada” sería igual a “cero” y que tendríamos, por ejemplo, una habitación aparentemente vacía llena en realidad de infinitas cosas con cero representantes).

  2. >>Jamás daría por buena la pregunta en un examen pero porque el alumno demuestra que es un descuidado, pero no creas que hay mejor manera de caracterizar los números naturales,Pero acabas de reconocer que es la mejor manera de definirlos.Eugenio, supongo que tu alumno debería explicarse un poquito mejor.

  3. «Lo más probable» no. Seguro. De hecho, los números naturales sobre la recta real tienen medida cero; por tanto, la probabilidad de caer sobre uno de ellos es rigurosamente cero.Es más, los únicos números con cardinal aleph uno son los trascendentes.Por curiosidad, ¿de qué curso? ¿En qué asignatura?

  4. Davidmh:En realidad tienes razón, usando el término probable de manera estricta, algo que me gusta hacer. Sólo pretendía ser divulgativo.Sólo te diré que del segundo ciclo de secundaria, no puedo dar más datos, soy muy serio con el asunto de protección de datos.

  5. a contar una mini-anécdota, no de un alumno, sino de un profesor (de letras) preguntando a uno de matemáticas para explicarle luego a su hijo.Prof de Letras: ¿Y los números importantes, para qué sirven?Prof de Mates: ¿Los números importantes?P.L.: Sí, esos que son tan importantes, que se les pone una admiración detrásP.M.: AH!!!!! (conteniendo la risa) te refieres a los FACTORIALES

  6. “Pero acabas de reconocer que es la mejor manera de definirlos.”:-DDDD¡A eso me refiero con descuidado! Que no haya manera mejor de caracterizarlos no quiere decir que NO haya que emplear las palabras que usa el profesor. Vamos a ver, yo no sé qué ha pasado en clase de Eugenio, pero la dificultad con definir lo fundamental en matemáticas es evidente. O te vas a la teoría axiomática o a lo entendible, pero con cierto rigor en los términos y en la percepción de las dificultades. Eugenio parece que lo ha heho bien para el nivel de la secundaria, como casi todo el mundo. Dicho esto, el alumno tiene todas las pintas de ser un descuidado: de la explicación del profesor el se hace un retrato y llega a la conclusión de que los números naturales son “pues normales”. Y lo suelta.

  7. ¿Demostraría entenderlos mejor un alumno que se hubiera memorizado unas cuantas definiciones elegantes? No, como mucho demostraría explicarse mejor, lo cual, ya te digo desde aquí, me parece más que necesario. No te digo que algo tan poco explicado esté bien, pero sí creo que a veces ir a lo simple es lo mejor. Y además, el tema de que el alumno “llegue a la conclusión”, como dices, siempre será mejor que el que suelte una parrafada dictada en clase.

  8. “¿Demostraría entenderlos mejor un alumno que se hubiera memorizado unas cuantas definiciones elegantes?”A ver. Por lo que le leo a Eugenio, él NO da para memorizar. Que lo confirme él, pero creo da una caracterización, diciendo algo así como que sirven para contar, son enteros, no son negativos, son los primeros números que entienden los niños… Probablemente haya introducido la “clave” para cierto tipo de alumnos, es decir, algo así como “pues son los números más normales que hay” como recurso retórico.Es decir, no va la cosa de definiciones sino de no ser mentalmente perezoso.pero te tomo la pregunta por su valor nominal y la respuesta es sí, un alumno que intenta memorizar las definiciones lo hace mucho mejor. Ya está bien de despreciar la bendita memoria. Me parece estupendísimo que en un tema resbaladizo y muy difícil de adquirir como las matemáticas en general, haya alumnos que tengan como recurso la memoria. La experiencia me dice que los alumnos que memorizan lo entienden muchísimo antes. El alumno intuitivo que no necesita memorizar es rarísimo ¡y aún así le merece la pena memorizar!¡Ojalá tuviera más alumnos “de parrafada”! demostraría que le tienen más consideración a la memoria, la bendita memoria, que lo que es habitual.

  9. >>A ver. Por lo que le leo a Eugenio, él NO da para memorizar.En realidad no era una pregunta refiriéndome exclusivamente a Eugenio.>>Ya está bien de despreciar la bendita memoriaNo la desprecio, obviamente en una carrera como la mía la memoria es algo crucial. Pero pienso que en asignaturas como las matemáticas es mucho mejor comprender que memorizar.>>La experiencia me dice que los alumnos que memorizan lo entienden muchísimo antes.Ahí no digo nada. Yo experiencia dando clase, obviamente no tengo. Pero puedo decir que uno de mis compañeros, el cual se ha sacado matrículas a base de memorizar como un bobo, dijo algo tal que así "… pues es como una cosa de montañas montañosas…" como explicación. Y se quedó tan pancho. Porque nunca se ha tomado la molestia de pensar una definición, sólo de repetir lo que le daban.En última instancia, para gustos los colores.

  10. “Pero pienso que en asignaturas como las matemáticas es mucho mejor comprender que memorizar.”Yo cada día pienso más lo contrario. Es más, a la vista de la experiencia que he tenido dando clases yo mismo he repasado cómo aprendí matemáticas y me he dado cuenta de que en muchísimas veces la memoria iba por delante de lo que corrientemente llamamos “entenderlo”. Por ejemplo el algoritmo para producto de matrices (elijo el ejemplo porque estoy repasando la teoría y de paso el recuerdo de cómo lo aprendí) te lo aprendes de memoria, no digamos el cálculo de un determinante. La motivación en base a composición de aplicaciones lineales viene sistemáticamente después de que te hayas aprendido de memoria el algoritmo y con determinantes lo mismo pero elevado al cubo, la necesidad matemática de cosa tal como un determinante es IMPOSIBLE de entender si no sabes calcularlos.Lo mismo que digo es extensible a cualquier cosa. De manera más elemental, el mismo algoritmo de la división es necesario dominarlo muchísimo antes de comprender (en sentido corriente) ni siquiera bien la idea de reparto o distribución en partes iguales. Es decir, a ciertas edades no se puede entender (por nadie, es que nadie) más que vagamente que semejante algoritmo tenga relación con repartir en partes iguales. El alumno está en la actitud del “simplemente funciona” (la justificación del algoritmo de la división, el por qué funciona, por otra parte, es bastante jodido de entender y dudo de que incluso un aspirante a bachiller bueno pueda explicarlo y deducirlo, por ejemplo)Lo de “comprender antes de memorizar” es un mito extraordinariamente popular (da apariencia de quitar el esfuerzo que es eso de aprender) que puso en marcha una psicología simplona en la forma y terríblemente equivocada en el fondo. Aprender cuesta un güevo y es imposible separar la memoria de la comprensión. Es decir, sí que tiene sentido hablar de memoria por un lado y comprensión por otro, son términos que tienen sentido pero son muy vagos y la pedagogía “moderna” se ha empeñado en “cosificarlos” y darles una precisión que les es imposible de dar: en un proceso de aprendizaje actúan la memoria a corto, la memoria a largo, el puro cálculo, las estrategias individuales (de nuevo la memoria) y no sé cuántas cosas más.Los alumnos que sacan excelentes en base a memoria tienen eso y no está nada mal para ellos. Tienen muchísimo más que los alumnos perezosos que están esperando que llegue la “comprensión” como quien espera la venida del Espíritu Santo.

  11. >>Lo de "comprender antes de memorizar" es un mito extraordinariamente popular (da apariencia de quitar el esfuerzo que es eso de aprender)Bueno, supongo que eso ya depende de la capacidad mental de cada uno, pero yo siempre he encontrado más difícil el comprender. Memorizar es más tedioso pero no tiene ningún misterio.>>Los alumnos que sacan excelentes en base a memoria tienen eso y no está nada mal para ellos. Sigo pensando que se pueden tener notazas y no saber hacer la O con un canuto. Es más, lo pienso porque lo he visto.>>Tienen muchísimo más que los alumnos perezosos que están esperando que llegue la "comprensión" como quien espera la venida del Espíritu Santo.Nunca he pensado que la comprensión sea un acto pasivo. Es más, desde mi punto de vista exige mucho más esfuerzo mental que sólo memorizar.>>Aprender cuesta un güevo y es imposible separar la memoria de la comprensión.Ya, hombre, ya :P. Pero supongo que estamos hablando en términos de primar una sobre la otra, no de aislarlas completamente.En última instancia, sobre medias tú sabrás más. Quiero decir que yo sólo sé realmente cómo he aprendido mejor yo, y tal vez los casos que he visto a mi alrededor; tú has visto más casos y podrás generalizar con más facilidad. Pero deberíamos tener en cuenta que tú hablas como profesor y yo como alumna, y son dos puntos de vista muy diferentes.

  12. Anónimo, he de decir que no estoy de acuerdo con muchas de las cosas que afirmas, al menos en mi caso.Por lo que he ido observando parece que esto no es normal en la inmensa mayoría de la gente, pero al parecer soy una de esas personas a las que se les da muchísimo mejor comprender las cosas que aprenderlas directamente de memoria. Se puede ver fácilmente que cuando uno tan sólo memoriza algún dato para un examen, es extremadamente fácil que unos días después ya no lo tenga en la cabeza. En cambio, si comprende el significado de esa información, lo relaciona con lo que uno ya sabía, o incluso le encuentra sentido a nuevas cosas a partir de él, ese dato se almacena de una forma a muchísimo más largo plazo que la simple memorización.Al método de la división no sé, pero yo llevo ya muchos años encontrándole perfecto sentido… No se trata más que de ir encontrando la cifra correspondiente a cada orden de magnitud del resultado de forma que sean los mayores múltiplos del denominador que no superen el valor del numerador. Para ello se empieza con el orden de magnitud más grande, y se va descendiendo operando con los restos de cada paso anterior.Sin embargo, lo que sucede con este tipo de operaciones, como lo del determinante de una matriz, es que tras aprender los algoritmos, éstos tienen que empezar a ser utilizados y ejercitados. Por eso no se olvidan, porque resultan útiles posteriormente y se usan continuamente.Pero en el resto de casos, cuando no se trata de matemáticas, entra en juego lo que he dicho antes. En comparación, y sin ejercicio posterior, entre dos informaciones que se le muestren a uno, la que sea comprendida será la que uno aprenda, mientras que la otra será un dato apenas relevante que pasará pronto al olvido. Y al quedar de forma prácticamente permanente en la memoria algo cuando es comprendido, cuantas más cosas comprenda alguien, más fácil le resulta comprender cosas nuevas, ya que hay muchas más posibilidades de establecer relaciones con lo que ya se sabía.Los alumnos que sacan excelentes en base a memoria tienen eso y no está mal, como dices, pero es posible que sólo tengan eso. Puede que sólo les sirva para sacar la mejor nota posible, pero que en realidad no hayan adquirido el conocimiento de fondo de las cosas. En ese caso la nota no sirve de nada luego.Y un alumno que espera a que llegue la comprensión para poder aprender bien las cosas no tiene en absoluto por qué ser perezoso. Si ésta no llega se puede tratar de volver a leer en qué consiste aquello que hay que aprender, mirar ilustraciones, tratar de imaginárselo, o buscar explicaciones alternativas a la que no se comprende. No se trata de quedarse esperando. Yo era de los que sacaban excelentes utilizando el “método” de la comprensión, y gracias a ello podía conseguirlo estudiando bastante menos que mucha gente que sacaba notas más bajas.Saludos.

  13. Interesante debate el que se cuece, chicos.Explico mejor por qué considero mala la respuesta.Son alumnos del segundo ciclo de secundaria. Eso significa que no son críos que no pueden desarrollar un tema. Deben dar una respuesta que vaya más allá de tres palabras. En mis exámenes, como se ha hablado por ahí, no es la memoria lo único que vale la pena (no voy a entrar hoy en el debate memoria/comprensión, pero intentaré tratarlo algún día).Ya he dejado claro en mi post por qué no considero a los “naturales” números normales. Pero, aunque fueran “normales” esperaría que el alumno me lo intentase justificar. Si me hubiese dicho algo como: son los normales porque son los que se usan para contar en la vida cotidiana, etc. Pero cualquier padre de alumno que mire los extractos de su cuenta verá que el banco no usa esos números, dile a ellos que los naturales son normales.Por tanto, basicamente, el problema de la respuesta es que no se ha desarrollado lo suficiente y, por tanto, es poco precisa. Conste que yo le he dedicado bastante tiempo en clase a esto. Y, por supuesto, huyo de las definiciones magistrales.

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