Ternas Pitagóricas II: Plimpton 322

(Segunda parte de "Ternas Pitagóricas". Ver Primera parte).
La tablilla Plimpton 322 tienen unas dimensiones de 13 x 9 cm, y un grosor de 2 cm. Como puede leerse en la página web de la Universidad de Columbia, donde se encuentra depositada, está datada entre los años 1600 y 1900 a.C. Esta tablilla demuestra que los babilonios conocían las ternas pitagóricas unos 1500 años antes de que el mismísimo Pitágoras naciera.

El descifrado de la tablilla corresponde a Neugebauer y Sach (Mathematical Cuneiform Text, 1945). Ya os contécómo interpretar los números cuneiformes y, luego, transformarlos a sitema decimal. Así que pasemos a escribir la tabla directamente en números arábigos y, posteriormente, daremos su interpretación.

Transliteración de la tablilla Plimpton 322 a numeración arábiga.
Se trata de una tablilla con 4 columnas (C1-C4) por 15 filas. Muchos de los números se han perdido, pero se han recuperado mediante las operaciones pertinentes. Otros, estaban calculados erróneamente, así que he puesto el valor correcto. Para proceder a la interpretación consideremos el siguiente triángulo rectángulo, que representa geométricamente la terna (a,b,c):
Triángulo correspondiente a la terna pitagórica de la fila 5 de la tablilla Plimpton 322.

La última columna etiqueta con un número de orden (de 1 a 15) cada columna. En la Columna 2 (C2) aparece uno de los catetos (por ejemplo «a»). En C3 aparece la hipotenusa «c». Y en C1 aparece la expresión (c/b)2. Para calcular «b» simplemente hay que hacer una operación entre C1 y C3. Hay que notar que la razón c/b es nuestro actual cosecante, por tanto, podemos considerar esta tablilla como una forma temprana e incipiente de trigonometría. La prueba la podéis encontrar en esta hoja de cálculo, donde se ha pasado la tabla a nuestra actual numeración decimal.

Tablilla Plimpton 322 en el sistema decimal.
Se ha especulado mucho acerca de cómo podían conocer los babilonios la forma de generar las ternas pitagóricas. Ya vimos un método para encontrar estas ternas, pero los expertos en matemáticas babilonias (Neugebauer) piensan que los escribas usaron otro método. Lo que se propone es que podrían conocer el algoritmo siguiente (aunque no en esta notación algebraica actual): (p2-q2,2pq,p2+q2). Siendo p>q, ambos primos entre sí y positivos. En la hoja de cálculo se pueden encontrar las parejas (p,q) que generarían las ternas (ma,mb,mc), donde «m» es un múltiplo común (recuerda, de la primera entrega, el factor «k»).

7 pensamientos en “Ternas Pitagóricas II: Plimpton 322

  1. Y cuánto me gusta a mí que me lo digas. Estas entradas curradas son las que menos comentarios tiene. Y deja un sinsabor… Gracias por tu comentario.

  2. Yo te voy a dejar un comentario pero sintiéndolo mucho no es de mates… Es que has tenido un lapsus con la palabra “descifrar”.Le tengo un poco de manía a la historia de las matemáticas, ¿sabes por qué? Es que en el colegio no podía evitar pensar “¡Si tal o cual matemático se hubiese dedicado a jugar a las cartas en vez de a andar haciendo números yo no tendría que aprenderme esto ahora!”

  3. ¡Gracias chaval!Espero que, con el tiempo, le tomes gusto a la historia de las mates. ¿Qué es un astrónomo sin mates? Cuando tenga tiempo hablaré de las relaciones entre matemáticas y astronomía en babilonia. Es la base de nuestra astronomía actual, y también de las supercherías y estupideces astrológicas.

  4. Ya sé que un astrónomo sin matemáticas no es nada, me estoy mentalizando :P¿Me recomiendas algún libro de historia de las matemáticas en particular?

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