La verdadera fórmula de Euler

En matemáticas y física a menudo estamos viciados por las costumbres. Un ejemplo claro lo sufren los profesores en clase cuando algún alumno tiene que despejar una ecuación del tipo '3=1+x'. Para él es prácticamente contranatura escribir '2=x', si la x está a la derecha, te dice alguno, dale la vuelta, le dices tú, pero es que sale negativo, te responde con horror. No entiendes hijo lo que es una igualdad, se dice el profesor, por respeto, para sus adentros.

Todo esto viene a colación de un caso recurrente que tengo tatuado en mi hombro derecho, la identidad de Euler. La forma en que la tengo tatuada es menos popular, aunque correcta y, para mí, más hermosa. He tenido un par de encuentros con personas que, en un alarde de querer saber matemáticas, afirman un contundente «esa fórmula está mal», lo que me hace recordar, sin acritud, el chiste de la ley de Ohm (1). Y es que, corregir a un profesor, y si es físico, mola bastante, pero puedes hacer el ridículo. Con explicarles -no sin un traza de vergüenza ajena- lo que es la propiedad conmutativa para el producto sería suficiente, pero prefiero en esta ocasión contar algo de historia de las matemáticas.

 

¿Ecuación, fórmula, expresión o identidad?

Ecuación, nunca. Pues una ecuación se cumple solo para ciertos valores de una indeterminada.

Fórmula, no me gusta, tal vez por ser físico. El término fórmula suele reservarse a igualdades algebraicas entre magnitudes. Pero mal no está, se puede usar. De hecho, más adelante me referiré a fórmula cuando hablemos del caso general. La gente que va de listilla usa fórmula para todo.

Expresión, sin problemas. Se puede usar para cualquier cosa que exprese algo. Pero esto lo hace tan genérico que afina poco.

Identidad, mi preferida. Identidad es una igualdad que SE CUMPLE SIEMRE, te pongas como ten pongas. Además, como en la expresión más conocida sólo aparecen números, la esta denominación es la más correcta.

 

Antecedentes

El matemático inglés Roger Cotes publicó un resultado en su obra Harmonia mensurarum (1722) que parece haber sido obtenido en 1714, en nuestra notación actual sería:

En realidad se trata ya de la fórmula de Euler, pues basta usar la definición de logaritmo y despejar el argumento. Téngase en cuenta que «ln» significa «logaritmo en base e». Es decir:

La última expresión es la que se conoce, actualmente, como fórmula de Euler. Por último, resaltar que hay incluso antecedentes a la expresión de Cotes, pero sería meternos en algo más profundo.

 

La verdadera fórmula de Euler

La realidad es que el propio Leohard Euler no escribió la fórmula tal como acabamos de ver arriba, se cree que su primer uso fue en torno a 1740. En Introductio in analysin infinitorum (1748, la edición enlazada es de 1797) realiza un recorrido previo por las propiedades de tres funciones: exponenciales, logaritmos y razones trigonométricas. Un estudiante de cuarto de ESO avispado podría seguir algunos de los razonamientos, incluso sin saber latín. En la página 104 del Vol. 1 puede leerse los siguiente:

Parece mucho lío, pero vamos a lo importante. Justo al final, en la penúltima línea, ahí podemos encontrar la verdadera fórmula de Euler:

Aquí debe entenderse que:

Por lo que tendríamos (teniendo en cuenta ν es un ángulo y prescindiendo del signo «+»):

La identidad de Euler de mi brazo

Si somos rigurosos y sustituimos el valor π en la verdadera fórmula escrita por Euler, tendremos

Y puesto que el seno de π es cero y el coseno de π es -1:

Que es en sí una forma de expresar la identidad de Euler. Sin embargo, como sabéis, se puede hacer más bella despejando el 1 hacia la izquierda, con lo que queda el cero a la derecha:

Imagen obtenida de Gaussianos: http://gaussianos.com/tres-grandes-tatuajes-matematicos/

Hay que reconocer que es más común encontrar en los textos el orden iπ en vez de πi. Pero me gusta más lo segundo, como tributo al planteamiento original de Euler. Como digo, explicar que iπ y πi es lo mismo es de una banalidad que aburre.  Concluyendo, si alguien te dice «la fórmula de Euler es así y no de otro modo», le respondes, no, es así:

Y si te hablan de la «identidad», puedes escribirla como te dé realmente la gana.

 

 

Para saber más

(1) El chiste (que no se pique nadie que sólo es un chiste)
- ¿Cuántas leyes de Ohm hay para un ingeniero?
- Tres: I=V/R, V=I·R y R=V/I

 

4 pensamientos en “La verdadera fórmula de Euler

  1. ¿puede que haya un par de errores?
    1.-cuando pasas de la expresión exp(vi)=cof.v+i fin.v
    si fin=sen y cof.=cos entonces seria exp(vi)=cos(v)+i (sen(v)) y tu pones sen(v)+i cos(v)
    2.-cos(pi)=-1 y sen(pi)=0, mientras que tu dices que cos(Pi)=0

  2. A mí la fórmula (identidad) que me puede, y que se deriva rápidamente de la de Euler, es:

    i^i = e^(- π/2)

    (i^i significa i elevado a i)

    o bien:

    i^i = 0,207879576350761…

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