La mecánica cuántica se apoya en una arquitectura matemática que rara vez coincide con las magnitudes que aparecen en un laboratorio. Los experimentos producen resultados reales: posiciones, energías, tiempos, frecuencias o probabilidades. Sin embargo, el formalismo que permite calcularlos utiliza de manera sistemática números complejos, formados por una parte real y otra imaginaria.

La presencia de estos números en el corazón de la teoría ha alimentado una cuestión conceptual difícil de zanjar. ¿Son un rasgo fundamental de la naturaleza o una herramienta especialmente eficaz para describirla? Un trabajo publicado en Physical Review Letters propone una respuesta precisa, basada en una reformulación completa de la mecánica cuántica mediante números reales. El interés del resultado está menos en simplificar las ecuaciones que en aclarar qué elementos matemáticos exige realmente la teoría.

El papel de los números imaginarios en la teoría cuántica

Un número complejo puede escribirse como 3 + 4i, donde i representa la raíz cuadrada de −1. No existe ningún número real cuyo cuadrado sea negativo, pero la ampliación del sistema numérico mediante i permite resolver ecuaciones y representar fenómenos que serían mucho más difíciles de manejar de otro modo. Estos números aparecen en el electromagnetismo, la teoría de ondas y numerosos campos de la ingeniería.

En mecánica cuántica, el estado de un sistema se expresa mediante una función de onda cuyos componentes suelen ser complejos. La parte imaginaria interviene en la evolución temporal, en la interferencia y en las relaciones de fase. Las probabilidades observables se obtienen al combinar esas amplitudes complejas de una forma que produce siempre números reales. Lo que llega al experimento carece de parte imaginaria, aunque el procedimiento matemático empleado para calcularlo sí la contenga.

Esta diferencia explica el alcance de la pregunta. Que una herramienta no sea observable directamente no implica que pueda eliminarse sin consecuencias. El formalismo complejo podría reflejar una propiedad inevitable de los sistemas cuánticos, o bien funcionar como una representación compacta de una estructura que también admite otra escritura. Distinguir entre ambas posibilidades exige construir una teoría alternativa completa, capaz de reproducir todas las predicciones conocidas.

Por qué los primeros modelos con números reales fracasaron

La idea de formular la mecánica cuántica con números reales cuenta con varios antecedentes. Algunas propuestas conseguían reproducir la teoría convencional mediante un grado de libertad adicional, conocido como rebit, que almacenaba la información asociada a la parte imaginaria. El problema aparecía al describir sistemas compuestos por varias partículas, especialmente cuando estaban entrelazadas y separadas espacialmente.

Los números complejos pueden abandonar las ecuaciones cuánticas sin que cambie una sola predicción experimental.

Los modelos acostumbraban a combinar los espacios matemáticos de cada partícula mediante el producto tensorial, la operación estándar de la teoría cuántica. En 2021 se demostró que ciertas formulaciones reales construidas de este modo predecían correlaciones distintas de las obtenidas con la mecánica cuántica compleja. Experimentos multipartitos posteriores coincidieron con la teoría habitual. El resultado parecía convertir los números complejos en un ingrediente experimentalmente necesario.

Sin embargo, aquella conclusión dependía de una suposición concreta: que el producto tensorial ordinario debía conservarse sin modificaciones en la versión real. El nuevo estudio revisa precisamente ese punto. Sus autores sostienen que esa regla matemática resulta demasiado restrictiva y la sustituyen por un requisito físico más básico: una operación aplicada localmente a un subsistema no debe producir un efecto medible directo sobre otro subsistema separado.

Una bandera para conservar la información compleja

La traducción comienza con una observación sencilla. Cualquier número complejo puede representarse mediante dos números reales: uno recoge la parte real y otro la imaginaria. La dificultad no está en separar ambas componentes, sino en conservar correctamente las relaciones de fase cuando varios sistemas se combinan.

Los investigadores asignan a cada estado un pequeño sistema auxiliar de dos componentes, denominado “bandera”. Una de ellas identifica la parte real y la otra registra la información que en la formulación convencional estaría multiplicada por i. La bandera no constituye una propiedad adicional que pueda medirse por separado. Funciona como un mecanismo contable interno, restringido por las mismas equivalencias físicas que aparecen de manera automática al trabajar con números complejos.

Una de esas equivalencias afecta a la fase global. En la mecánica cuántica convencional, multiplicar toda una función de onda por un factor de fase no altera ninguna predicción observable. En la formulación real, esa libertad se convierte en una rotación de la bandera. Dos vectores matemáticamente distintos pueden representar, por tanto, el mismo estado físico. La teoría debe reconocerlos como equivalentes aunque ocupen posiciones diferentes en el espacio real.

El método mantiene invariables los valores esperados de las mediciones. De este modo, la traducción no se limita a reescribir un estado aislado, también transforma los operadores que representan observaciones y evoluciones. Cada cálculo efectuado con amplitudes complejas tiene un equivalente real con idéntico resultado experimental.

El problema decisivo: combinar varias partículas

La mayor dificultad surge al reunir sistemas cuánticos independientes. En la formulación compleja, una fase global puede distribuirse de distintas maneras entre los subsistemas sin cambiar el estado conjunto. Una fase asociada inicialmente a una partícula puede reaparecer en otra al realizar ciertas operaciones, un fenómeno conocido como retroceso de fase o phase kickback.

El producto tensorial directo de las representaciones reales pierde esa ambigüedad. Además, genera un espacio con más dimensiones de las necesarias: aparecen vectores distintos que, desde el punto de vista físico, deberían representar exactamente el mismo estado. Los intentos anteriores trataban esas posibilidades como diferentes y acababan produciendo predicciones incompatibles con los experimentos multipartitos.

El verdadero obstáculo no estaba en separar las partes real e imaginaria, sino en combinar correctamente varios sistemas.

La solución propuesta consiste en construir un espacio cociente. Esta expresión designa un espacio matemático en el que se agrupan como equivalentes todos los vectores que describen la misma situación física. Las banderas locales continúan existiendo, pero ciertas combinaciones dejan de contarse como estados distintos. De este modo, la información de fase puede repartirse entre las partículas igual que sucede en la formulación compleja.

En el paper se representa esta idea mediante tres sistemas, cada uno acompañado por su bandera local. El factor de fase global puede distribuirse entre ellas sin modificar el estado físico conjunto. La equivalencia añadida al espacio real recupera la libertad que el formalismo complejo contiene de forma natural. En otra figura del paper se muestra por qué la traducción tensorial más inmediata falla: un único estado complejo tendría varias imágenes reales posibles, mientras que la aplicación inversa identifica correctamente cuáles deben agruparse. 

Las mismas predicciones con otra arquitectura matemática

Con esta construcción, Pedro Barrios Hita, Anton Trushechkin, Hermann Kampermann, Michael Epping y Dagmar Bruß obtienen una correspondencia uno a uno entre la mecánica cuántica compleja y su representación real. La nueva formulación reproduce las probabilidades de todos los experimentos contemplados por la teoría convencional, incluidos los escenarios multipartitos de tipo Bell que habían descartado modelos reales anteriores.

La naturaleza parece exigir las relaciones cuánticas, pero no una única manera matemática de escribirlas.

El resultado no modifica la mecánica cuántica conocida ni introduce predicciones experimentales nuevas. Tampoco permite desarrollar dispositivos que la formulación habitual no pudiera describir. Su importancia es conceptual: demuestra que los experimentos no pueden decidir entre ambas representaciones, ya que producen exactamente las mismas estadísticas. Los números complejos dejan de aparecer como una exigencia empírica y pasan a ser una elección de lenguaje matemático.

Esto tampoco los convierte en un adorno prescindible en la práctica. El formalismo complejo es más compacto, familiar y eficiente. La versión real necesita grados de libertad auxiliares, restricciones sobre los observables y una estructura de equivalencias considerablemente más elaborada. El propio artículo termina con una valoración clara: los números complejos no son necesarios para describir la mecánica cuántica, pero resultan extraordinariamente útiles.

¿Y entonces, tanto lío para qué?

La investigación permite interpretar mejor los experimentos que parecían haber cerrado la puerta a cualquier mecánica cuántica formulada con números reales. Aquellas pruebas descartaron una familia concreta de teorías: las que mantenían el producto tensorial ordinario al combinar varios sistemas. Lo que quedó refutado fue ese modo particular de construir la teoría, no toda formulación real posible. El nuevo trabajo muestra que, al introducir un espacio cociente y agrupar como equivalentes ciertos estados, la descripción puede recuperar todas las predicciones de la mecánica cuántica habitual.

La propuesta todavía tiene límites. Está formulada para sistemas de dimensión finita, con un número limitado de estados básicos, mientras que muchos problemas físicos requieren espacios de dimensión infinita, como la posición continua de una partícula o determinados campos cuánticos. Extender esta arquitectura a esos casos permitirá saber si la equivalencia puede sostenerse en un marco más general.

¿Resuelve esto algún problema experimental o abre la puerta a una nueva tecnología? En principio, no. Los cálculos producen exactamente los mismos resultados y la formulación compleja sigue siendo mucho más compacta y manejable. Su utilidad está en otro lugar: aclara qué parte de la teoría pertenece a la física y qué parte depende del lenguaje matemático elegido para expresarla. El trabajo muestra que los números complejos son una herramienta extraordinariamente eficaz, pero no el único fundamento posible. Eso no cambia las predicciones de la mecánica cuántica, aunque sí modifica lo que podemos afirmar sobre la relación entre sus ecuaciones y la realidad.